Hur räknar man ut en period

I detta förra avsnittet repeterade oss dem primär trigonometriska sambanden samt såg för att detta på grund av vissa vinkelstorlekar finns exakta trigonometriska värden. inom Matte 3-kursen äger oss tidigare stött vid enhetscirkeln, liksom oss kunna nyttja på grund av för att analysera sambanden mellan vinklar samt trigonometriska värden.

Det denna plats avsnittet innebär enstaka repetition från enhetscirkeln samt även enstaka bekantskap tillsammans med begreppet period, likt kommer för att återkomma många då oss äger för att utföra tillsammans trigonometriska värden.

Enhetscirkeln

När oss tidigare studerade dem elementär trigonometriska sambanden utgick oss ifrån rätvinkliga trianglar, var storleken vid dem vassa vinklarna måste ligga ner inom intervallet 0° ≤ v ≤ 90°.

inom samt tillsammans användningen från enhetscirkeln äger oss expanderat definitionerna från dem trigonometriska sambanden mot för att gälla godtyckligt stora vinklar, mot modell vinklar vilket existerar större än 90° alternativt mindre än 0° (negativa vinkelstorlekar).

Enhetscirkeln existerar centrerad inom origo (0, 0) samt varenda punkt vid cirkelns periferi ligger vid avståndet 1 längdenhet ifrån cirkelns mittpunkt (cirkelns radie existerar alltså lika tillsammans med 1 längdenhet).

Varje punkt vid cirkelns periferi kunna tecknas P = (x, y), var punktens x- samt y-koordinater beror vid vinkeln v.

Punktens x-koordinat existerar lika tillsammans med cos v, detta önskar yttra x = cos v, samt punktens y-koordinat existerar lika tillsammans med sin v, detta önskar yttra y = sin v.

Period: hur många grader tills vi gått helt varv eller något upprepas

Därför är kapabel oss även notera ett godtycklig punkt vid cirkelns periferi likt P = (cos v, sin v).

För enhetscirkeln således delar oss även in dem olika områdena indelade från x- samt y-axeln inom fyra olika kvadranter.

oss illustrerar detta inom denna foto nedan.

Perioder

Eftersom vinkeln v inom enhetscirkeln får existera godtyckligt massiv, kunna denna vinkel anta värden vilket existerar större än 90° alternativt mindre än 0°. liksom oss nämnde ovan kunna ett punkt vid cirkelns periferi tecknas liksom P₁ = (cos v, sin v).

ifall oss låter storleken vid vinkeln v öka tillsammans 360° (ett helt varv), då kommer punkten P₂ = (cos (v + 360°), sin (v + 360°)) för att sammanfalla tillsammans med punkten P₁, detta önskar yttra P₁ = P₂.

På motsvarande sätt kommer slumpmässiga vinklar

$$v+n\cdot {360}^{\circ}$$

där n existerar en heltal, för att leda till inom för att oss återkommer mot identisk punkt vid enhetscirkelns periferi.

Detta innebär för att dem trigonometriska värdena på grund av sin v samt cos v kommer för att äga perioden 360°, tillsammans vilket oss menar för att dem trigonometriska värdena uppkommer till enstaka godtycklig vinkel v ± en godtyckligt antal varv n inom enhetscirkeln.

oss besitter därför nästa samband inom enhetscirkeln:

$$\sin\,v=\sin\,(v+n\cdot {360}^{\circ})$$

$$\cos\,v=\cos\,(v+n\cdot {360}^{\circ})$$

där n existerar en heltal.

Till skillnad ifrån sin v samt cos v äger tan v perioden 180° (ett halvt varv inom enhetscirkeln). Detta beror vid definitionen från tangens, såsom utifrån ett punkt P = (x, y) = (cos v, sin v) vid enhetscirkelns periferi innebär att

$$\tan\,v=\frac{y}{x}=\frac{\sin\,v}{\cos\,v}$$

Om oss undersöker perioden på grund av detta trigonometriska värde är kapabel oss komma fram mot nästa samband:

$$\tan\,v=\tan\,(v+n\cdot {180}^{\circ})$$

där v ≠ 90° samt n existerar en heltal.

De trigonometriska funktionerna är så kallade periodiska funktioner

(Tangens existerar ej definierad till \(90°+n\cdot {180}^{\circ}\) eftersom detta existerar dem vinklar såsom ger \(\cos (v) = 0\) samt oss får ej dela tillsammans 0)

---

Låt oss titta vid några modell var oss använder dem trigonometriska värdenas period till för att åtgärda trigonometriska ekvationer.

Lös ekvationen

$$y=\sin\,{420}^{\circ}$$

Eftersom oss vet för att sin v besitter perioden 360° vet oss för att oss är kapabel notera sin 420° som

$$\sin\,{420}^{\circ}=\sin\,(v+n\cdot {360}^{\circ})$$

Då vinkeln 420° existerar större än 360°, därför subtraherar oss vinkeln denna tillsammans med 360° på grund av för att ett fåtal storleken vid vinkeln v, vilket ju bör ge oss identisk trigonometriska värde på grund av sinus:

$${420}^{\circ}-{360}^{\circ}={60}^{\circ}$$

så v = 60°.

Nu äger oss kommit fram mot för att nästa samband gäller:

$$\sin\,{420}^{\circ}=\sin\,{60}^{\circ}$$

sin 60° äger en detaljerad värde, vilket oss härledde inom detta föregående avsnittet.

Därför får oss nästa svar vid ekvationen:

$$y=\sin\,{420}^{\circ}=\sin\,{60}^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

---

Här kommer en mot exempel

Lös ekvationen

$$x=\cos\,{720}^{\circ}$$

Vi vet för att cos v äger perioden 360°, således oss är kapabel nedteckna cos 720° som

$$\cos\,{720}^{\circ}=\cos\,(v+n\cdot {360}^{\circ})$$

Om oss låter n = 2 får vi

$$\cos\,{720}^{\circ}=\cos\,(v+2\cdot {360}^{\circ})=$$

$$=\cos\,(v+{720}^{\circ})$$

så v = 0°.

Därför får vi

$$\cos\,{720}^{\circ}=\cos\,{0}^{\circ}$$

cos 0° besitter en känt noggrant värde:

$$\cos\,{0}^{\circ}=1$$

så oss äger alltså kommit fram mot nästa svar vid ekvationen:

$$x=\cos\,{720}^{\circ}=\cos\,{0}^{\circ}=1$$

---

Ett ytterliggare exempel

Visa att

$$\tan\,({-315}^{\circ})=1$$

då oss vet att

$$\tan\,{45}^{\circ}=1$$

Tangens på grund av ett vinkel v äger perioden 180°:

$$\tan\,v=\tan\,(v+n\cdot {180}^{\circ})$$

där v ≠ 90 samt n existerar en heltal.

Därför är kapabel oss notera tan (-315°) som

$$\tan\,({-315}^{\circ})=\tan\,({45}^{\circ}-{360}^{\circ})=$$

$$=\tan\,({45}^{\circ}+(-2)\cdot {180}^{\circ})=\tan\,{45}^{\circ}=1$$

Vilket oss skulle visa.

---

Sammanfattning

Sinus samt cosinus besitter enstaka period vid 360°, efter detta således återkomma värdena.

Tangens besitter ett period vid 180° samt existerar ej definierad till 90°

---

Nedan besitter oss ett interaktiv enhetscirkel ifrån GeoGebra, testa för att dra runt vinkeln på grund av för att titta hur olika punkter vid cirkeln visar värdena på grund av cosinus samt sinus från vinkeln.