Hur räknar man ut parabelns topp

Andragradsfunktioner

Ett polynom förmå såsom oss tidigare sett artikel en nolltegradspolynom $f(x)=a$, en förstagradspolynom $f(x)=ax+b$ alternativt en andragradspolynom $f(x)=ax^2+bx+c$ alternativt ännu högre grad. oss bör idag analysera hur en andragradspolynom ser ut inom en koordinatsystem.

Vi bör börja tillsammans med nästa funktion:

$$f(x)=x^{2}$$

För för att förstå hur funktioner från detta stöt ser ut såsom graf således skapar oss inledningsvis ett värdetabell:

x	f(x)
-3	9
-2	4
-1	1
0	0
1	1
2	4
3	9

Sedan sätter oss in varenda par från värden $ (x, f(x)) $ likt punkter inom en koordinatsystem samt sammanbinder punkterna:

Det ser ut likt för att sambandet bildar enstaka symmetrisk u-formad kurva, vilket skär genom origo.

Parabeln är symmetrisk kring den linje som är vinkelrät mot styrlinjen och som går genom brännpunkten

Detta existerar helt riktig. ägde oss valt för att beräkna samt sätta in fler punkter ägde oss fått ett kurva såsom ej ägde varit sålunda kantig. angående oss ägde valt för att nyttja riktigt flera punkter således skulle kurvan titta ut i enlighet med nästa figur:

Eftersom x² inom funktionsuttrycket besitter ett positiv koefficient (i vår exempelfunktion existerar koefficienten 1) får kurvan en minimivärde (här inom punkten (0,0)).

Vi fortsätter tillsammans med ett ytterligare funktion:

$$f(x)=-x^{2}$$

Denna funktion liknar den såsom oss inledde avsnittet tillsammans, dock angående man tittar vid hur dess graf ser ut därför ser man direkt ett klar skillnad:

Om x² inom funktionsuttrycket besitter ett negativ koefficient (i exemplet existerar koefficienten -1) blir kurvan enstaka upp-och-ner-vänd utgåva från kurvan inom detta förra exemplet, samt får enstaka maximipunkt (här inom punkten (0,0)).

Alla andragradsfunktioner besitter formen från enstaka parabel.

dock parablarnas "bredder" samt placeringar inom koordinatsystemet skiljer dem åt.

Exempel vid andragradsfunktioner

$$f(x)=3x^{2}+1$$

$$f(x)=2x^{2}+4x$$

$$f(x)=x^{2}+4x-8$$

$$f(x)=-x^{2}+x+6$$

Vi besitter tidigare sett för att enstaka andragradsekvation äger antingen numeriskt värde rötter, ett rötter alternativt ingen reell rötter alls.

Detta blir förtydligat då oss för tillfället även är kapabel analysera funktionerna grafiskt.

I enstaka vanlig andragradsfunktion tillsammans med numeriskt värde nollställen kunna oss ofta klart titta nollställena, alltså dem punkter var kurvan skär x-axeln (där y=0). detta existerar dessa x-värden vilket oss beräknar ut då oss löser ett andragradsekvation.

Ett modell vid ett sådan andragradsekvation

$$x^{2}-6x+5=0$$

Denna typ från andragradsekvation är kapabel oss åtgärda tillsammans med pq-formeln:

$$p=-6$$

$$q=5$$

$$x=-\frac{(-6)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2} \right )^{2}-5}$$

$$x=3\pm \sqrt{4}=3\pm 2$$

$$x_{1}=5 \: samt \: x_{2}=1$$

Motsvarande andragradsfunktion skrivs

$$f(x)=x^{2}-6x+5$$

och dess graf ser ut sålunda här:

Om oss studera denna graf ser oss för att funktionens nollställen (alltså var f(x)=0) finns nära just dem x-värden såsom utgjorde lösningar vid andragradsekvationen.

Varje andragradsfunktion äger ett symmetrilinjen i detta fall existerar den längs x = 3.

Vanligt då man inte har grafen utritad är att bestämma parabelns nollställen med hjälp av lösningsformeln

detta innebär för att kurvan mot vänster ifall symmetrilinjen existerar enstaka noggrant spegelbild från kurkan mot motsats till vänster ifall symmetrilinjen. oss markerar linje inom koordinatsystemet tillsammans andragradsfunktionen.

En andragradsfunktions symmetrilinje existerar ständigt vertikal samt parallel med y-axeln.

Maxi- alternativt minimipunkten till andragradsfunktionen kommer ständigt ligga ner vid symmetrilinjen. Eventuella nollställena mot andragradsfunktionen kommer ständigt äga identisk avstånd mot symmetrilinjen, eftersom den ligger inom mitten.

Funktionen antar sitt minsta funktionsvärde då x = 0

oss är kapabel alltså hitta symmetrilinjen tillsammans med hjälp från för att ta medelvärdet vid nollställena. inom andragradsfunktionen ovan skulle detta bli därför här

$$\frac{1+5}{2}=3$$

Vi förmå även hitta symmetrilinjen via inledande delen från pq-formeln, innan rottecknet, detta önskar säga

$$x=\frac{-p}{2}$$

Vi tittar vid enstaka mot andragradsfunktion $f(x)$ liksom besitter nollställena $x_1 = 1$ samt $x_2= -2$ samt går genom punkten $(0,-3)$, för tillfället bör oss hitta ekvationen samt sen tittar oss vid hur grafen ser ut.

Ekvationen mot andragradsfunktionen blir vid formen $f(x) = k (x-x_1)(x-x_2) $ var $x_1$ $x_2$ existerar nollställena samt $k$ existerar ett okänd konstant, oss sätter in nollställena samt kalkylerar sedan värdet vid $k$. Notera för att detta existerar x minus nollställena, därför detta negativa nollstället kommer bli x plus 2, därför här

$$f(x) = k(x-1)(x+2) $$

För för att avgöra konstanten $k$ använder oss villkoret för att grafen bör vandra genom punkten $(0,-3)$ samt ersätter därför x-värdena tillsammans med 0 samt funktionsvärdet tillsammans med -3 samt får då enstaka ekvation var oss förmå åtgärda ut $k$.

$$-3 = k (0-1)(0+2) $$

$$-3 = -2k $$

$$k = \frac{3}{2}= 1,5$$

Alltså existerar ekvationen mot funktionen

$$f(x) = 1,5 (x-1)(x+2)$$

och oss kunna titta vid grafen

Vi förmå även titta ifall ett funktion bara besitter en nollställe

$$f(x)=x^{2}-2x+1$$

Denna funktions graf ser ut sålunda här:

Kurvan ser ut för att tangera x-axeln, således för att bara finns ett punkt vid kurvan var y=0 samt denna punkt ser ut för att artikel x=1.

Punkten med kortas avstånd från styrlinjen och brännpunkten är parabelns topp

Detta är kapabel oss granska genom för att åtgärda motsvarande andragradsekvation:

$$ x^{2}-2x+1 = 0$$

Vi löser andragradsekvationen tillsammans hjälp från pq-formeln:

$$x=-\frac{(-2)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-2)}{2} \right )^{2}-1}$$

$$x=1\pm \sqrt{1-1}=1 \pm 0=1$$

$$x_1 = x_2 = 1$$

Eftersom den enda roten mot andragradsekvationen plats enstaka dubbelrot x₁=x₂= 1 kunna oss för tillfället konstatera för att oss ägde riktig inom vad oss trodde utifrån vår rapport från andragradsfunktionens graf.

Funktionens enda nollställe finns var x=1.

Slutligen bör oss titta hur enstaka andragradsekvation utan rötter ser ut grafiskt samt hur oss förmå erhålla fram ekvationen genom för att utläsa koordinater mot punkter vid ett parabel

$$x^{2}-2x+2=0$$

Försöker oss för att åtgärda denna ekvation tillsammans med pq-formeln, då blir uträkningen således här:

$$p=-2$$

$$q=2$$

$$x=-\frac{(-2)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-2)}{2} \right )^{2}-2}$$

$$x=1\pm \sqrt{1-2}=1\pm \sqrt{-1}$$

Eftersom oss kom fram mot en formulering till x liksom innehåller roten ur en negativt anförande, är kapabel oss dra slutsatsen för att ekvationen ej äger någon reell svar, detta finns inga reella rötter mot ekvationen.

För denna andragradsfunktion vilket nedan,

$$f(x)=x^{2}-2x+2 $$

Så kunna oss betrakta grafen mot denna funktion, såsom oss förmå titta på denna plats nedan, existerar intressant, eftersom denna andragradsfunktion ej besitter några nollställen (det finns inget x-värde vilket förmå väljas således för att f(x)=0) - kurvan skär inte någonsin x-axeln, utan håller sig kurera tiden ovan x-axeln.

Vi ritar ett mot graf på denna plats nedan till andragradsfunktionen

$$f(x) = -x^2 +4x -5$$

Då koefficienten framför x² existerar negativ (i detta fall -1) således besitter oss lärt oss för att kurvan äger en maximum samt ser ut likt enstaka sorgsen munhåla.

oss ser för att maximumpunkten ligger under x-axeln därför därför besitter denna andragradsfunktionen ej heller några reella nollställen eftersom kurvan inte någonsin skär x-axeln.

Om oss önskar ta reda vid ekvationen mot andragradsfunktionen f(x) var detta ej finns några nollställen således kunna oss hitta koordinater på grund av 3 punkter vid enstaka graf på grund av f(x), angående ej 3 punkter redan existerar givna inom uppgiften.

inom detta modell utgår oss ifrån grafen nedan på grund av för att hitta 3 punkter mot andragradsfunktionen.

Vi väljer 3 punkter samt börjar strategiskt tillsammans var grafen korsar y-axeln vilket blir punkten $0,2$.

Slutligen ska vi se hur en andragradsekvation utan rötter ser ut grafiskt och hur vi kan få fram ekvationen genom att utläsa koordinater till punkter på en parabel $$x^{2}-2x+2=0$$ Försöker vi att lösa denna ekvation med pq-formeln, då blir uträkningen så här

Sedan tar oss numeriskt värde andra punkter tillsammans med tydliga heltal likt koordinater, liksom existerar enklare för att räkna tillsammans med, $1,4$ samt $-2,4$.

Vi utgår ifrån nästa standardekvation tillsammans konstanterna a,b samt c:

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

Vi sätter in respektive koordinater på grund av dem utvalda punkterna inom ekvationen.

oss börjar tillsammans med koordinaterna på grund av $(0,2)$ samt får då

$$f(0) = a\cdot 0 +b\cdot 0 +c = 2$$

då kunna oss avgöra för att $ c=2$. Punkten $1,4$ ger oss
$$f(1)=a\cdot 1^2+b\cdot 1+2 =4 $$
och punkten $(-2,4)$ ger oss
$$f(-2)=a\cdot (-2)^2+b\cdot (-2)+2 = 4$$
Tillsammans bildar dessa en ekvationssystem vilket ser ut vilket följanede

$$\begin{cases}a+b+2 = 4 \\ 4a-2b+2=4 \end{cases}$$

Lös a samt b inom ekvationssystemet därför får oss ekvationen, $a=1$ samt $b=1$ (och $c=2 $ sen tidigare)

$$f(x)=x^2+x+2$$

Läs sidan på andra språk